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El objetivo de este artículo consiste en mostrar la cara matemática que posee cualquier ciudad. En concreto, se resume la ruta “Deriva matemática” diseñada y llevada a cabo por la autora del presente artículo en septiembre de 2021 en la ciudad de Málaga (España) y financiada por el área de cultura del Ayuntamiento de Málaga.

La ruta comienza en la escultura del Marqués de Larios. Observándola podemos dilucidar las proporciones para crear una escultura perfecta.Leonardo da Vinci dejó constancias de sus proporciones perfectas junto al dibujo del hombre de Vitruvio donde indicaba que la cabeza ocuparía una octava parte del cuerpo. Entre otras medidas, la oreja debía ser un tercio de la cabeza y la palma de la mano una décima parte de la altura del cuerpo. Sin embargo, hay una proporción concreta escondida en todas partes. Se trata de la proporción aurea que relaciona dos cantidades, a y b, cuando a/b=(a+b)/a. Dicho valor se llama Phi  y vale 1,618034. Podemos construir rectángulos áureos de base a+b y altura a además de una espiral aurea en su interior, tal y como se muestra en la imagen. Las tarjetas de crédito siguen esta proporción y las podemos utilizar para buscar proporciones y espirales áureas en los edificios más emblemáticos de la ciudad con simplemente mirar a través de ellas. Encontramos la espiral aurea en la naturaleza, por ejemplo, en conchas de caracoles, en la posición de las nubes en una tormenta y en la forma de nuestra oreja.

De camino a la Plaza de la Constitución observamos las distintas formas con las que se rellena el suelo de la calle yde la propia plaza. En este caso, el teselado consiste en rectángulos de distintos tamaños y algunos cuadrados. Pero, ¿con qué figuras se puede rellenar el plano y cuál es la óptima? Ya las abejas tenían intuición matemática puesto que utilizaban hexágonos para crear sus panales aun antes de que se probara que esa era la figura óptima. Utilizan menos cantidad de cera para construir las celdas hexagonales del panal cubriendo la misma superficie. Y no sólo tienen conocimiento matemático en ese aspecto.Resulta que el árbol genealógico de los zánganos (abeja macho) de un enjambre sigue la sucesión de Fibonacci al tener únicamente madre y no padre en el propio enjambre, cosa que no ocurre con las abejas hembra. Estas sí tienen padre y madre en el mismo enjambre. Así, el zángano tendrá dos abuelos y tres tatarabuelos. Si ahora intentamos recubrir el espacio con piezas tridimensionales iguales observamos que los octaedros truncados son una buena opción.De hecho, fue la mejor opción hasta que se descubrió la estructura de Weaire-Phelan. Podemos encontrar los octaedros truncados y otras figuras en los parques infantiles (la imagen es de un parque de Málaga) y la estructura de Weaire-Phelan en el edificio de la natación de los juegos olímpicos de Pekín 2008. No obstante, todavía no se conoce la forma óptima de recubrir el espacio.

Nuestra siguiente parada es en la Plaza del Obispo para admirar la Catedral. Nos centramos en las columnas de la fachada. Podemos reconstruirlas mediante cartulina y lanas tal y como se muestra en la imagen. Pero, ¿qué más podemos hacer con la estructura que hemos construido? Podemos trasladar o rotar una de las cartulinas obteniendo así prismas e hiperboloides.Este tipo de superficies se llaman regladas y las podemos encontrar en cucuruchos de helados, la pasta e incluso en diversos edificios (Torre de televisión de Cantón). Si las cartulinas tuvieran forma cuadrada y hacemos las mismas transformaciones podemos conseguir las torres KIO de Madrid o los típicos tejados con base cuadrada que acaban en punta de cualquier pueblo de montaña. Buscamos ahora relacionar el concepto de potencia con la altura de la catedral (87m). Imaginemos un papel de tamaño infinito y con un grosor de 0.1mm. ¿Cuántas veces tendríamos que doblar el papel para alcanzar la altura de la catedral con el grosor del papel? Un papel tamaño folio sólo se puede doblar 7 veces como mucho, ¡compruébalo! La intuición matemática nos hace pensar que el número de dobleces que buscamos será excesivamente grande. Empecemos a hacer las cuentas y dejemos al lector la tarea de terminarlas. Con un doblez obtenemos un grosor de . Al doblar de nuevo el papel tendremos un grosor de  Si lo doblamos  cuatro veces ya pasaremos del centímetro de grosor. Uno se puede sorprender al saber que para superar la altura de la catedral nos harán falta sólo 20 dobleces. Este es el superpoder que tienen las potencias, los valores crecen o decrecen muy rápidamente.

Ahora pasamos a una plaza muy curiosa dentro del Museo Picasso con un árbol en el centro. Utilizamos la estructura del árbol para explicar la geometría de los fractales.Del tronco del árbol nacen varios troncos y de estos troncos, salen otros troncos. Pueden variar de grosor para la estructura que siguen es muy similar. Si hacemos zoom en un tronco cualquiera y sólo nos fijamos en él, ¿cómo sabemos a qué parte del árbol pertenece? A simple vista no sabemos la respuesta porque todos los troncos son similares. Esa es la propiedad principal de los fractales, la autosimilitud. Aprovechamos la ocasión para repartir plantillas para construir el triángulo de Sierpinski y dedicar unos minutos a realizar los primeros pasos (más detalles aquí).

Llegamos a la última parada, en la puerta de la Alcazaba, un palacio fortificado construido por musulmanes. Al igual que en la Alhambra de Granada, pero en menor medida, hay numerosos mosaicos que pueden servir para explicar los distintos tipos de simetría que existen y aprender a diferenciarlos. La idea es utilizar plantillas transparentes para conocer las operaciones básicas (traslación, rotación y reflexión) y saber combinarlos. Además, podemos conseguir una estrella de 5 puntas doblando de forma adecuada un folio y haciendo un solo corte con tijeras para reforzar el concepto de simetría.

La última noción matemática que se explica está relacionada con el propio recorrido que se ha hecho de la ciudad.Las paradas las identificamos con puntos y las calles que hemos recorrido para llegar de un punto a otro con aristas. Así se construyen los grafos. Estas estructuras las utilizan los navegadores para calcular la distancia mínima para ir a un sitio concreto. También Google utiliza la teoría de grafos en su algoritmo PageRank para saber qué página web es más relevante.

La ruta matemática que hemos descrito se puede llevar a cabo en cualquier ciudad que tenga una escultura emblemática, unas calles enlosadas, un edificio señorial (con columnas) y un gran árbol situado en una plaza con encanto.

(Las imágenes utilizadas son de Wikipedia o propias de Alicia Tocino Sánchez)

Bibliografía:    

-Fernando Blasco, Matemagia.

-Alberto Coto García, Matemagia (la magia matemática que te rodea para torpes).

-Eduardo Saenz de Cabezón, Apocalipsis Matemático.

-Maria Luisa Spreafico, Constructing a mathematical object in 20 minutes, Proceddings EduLearn21.

Publicado el 09/10/2021